Jak się uczyć
i jak uczyć innych.
NiplMł
Adolf J^ygasirlshi.
(Ciąg dalezy).
IV. Naooiiole w dalszym ciąga bit
na aobit ta pnedmiot wykład piani
matrji pntdewzzyttkitm. Rozpootyna
ono od zaaadniozyoh pojąć o wielkoś
ciach pnestnaonyoh i ioh wymianoh,
prtedalawia ialotą powierzchni, linji,
pnnktn, a nmyał nozoia powołają do
maltmałyoznyoh abalnkoyj. śolełe de
finicje i npoiządkowana dowodatnla aą
In łtraa na miejaoo( okoć, jak jol
wspomnieliśmy, namyełowieniem gar
dzić nie n ale ty.
Uoaefi powinien aknpiać a wagą, nozyć
aią śoiśle wnioakować, a z abatrakoyj
nyoh dowodaafi wynieść pnekonanls, ie
na Iwiadaotwla amyałów nieaawsae moż
na polegać. Prawidłowe przebiegi do
wodaafi powinny aią wyryć w jego a
myślę jako metoda, którą on jednak
anpełnie ewobodnie roaporządaa. Na
rsat oka mi roepoanawao prawdy, ktOri
nie potrzebują dowodaenia; w keidej
obwili ma oo panować nad iwymi amyi
lowjmi nabytkami i nmiać alę odooaić
do prawd, popraadnio dowiadiionyoh,
lub wyprowadaonyob jako wnioaki.
Naukę prowadai kię w oałoioi tak
śoiśle i w lakiem uzwiązkowania ayate
matyosoam, jak to ma miajaoo prxy kal
4am geometryoanem dowodseniu. Od
linij pnaobodsi kię do kątów i i ab mia •
ry, do linij równoległych, od trójkątów
i twiardiań o ioh przykuwaniu, do włas
ności proitopadłyoh i pochyłych, do
czworokątów, wialokątów, do koła, jo
go linij i kątów.
Roawląaywania aagadniafi wykreśl
nyob odgrywa tutaj datą rolą, klanowi
ono probiera oaiągolątyob praaa naaoaa
nie roaaltatów, a a drogiej atrony daje
ooaniowi moftność aaatoaowania zdoby*
tej wieday i jeet polem dla omyołowej
samodzielności. To tai naooaania geo
metrji ciągle powinien towarayaayć ry
auuek; raeoa proeta, ift i bea raohunko
wyoh obliczań iadną miarą obejść aią ta
nie moioa.
V. Ten kara roapooanle od tego,
oaego popraedni jat dotknął, wiąo
_ od linij na kole i w kole, kątów
w kole; naatąpnie praejdaie do połoie
nia, jakie aajmają koła waglądem ale
bie, do figar wpleanyeh w koło i na
nlem opieanyoh, do etoeanka okręgu ko
ła do średnloy. Wyatąpl ta anowa o
blioaanie powieraohni figar płaikiob.
Nareaaoie aoaefi poana twierdzenie Pi
tagoraaa oraa to waayatko, oo a niego
wynika, Proporcjonalność i podobień
stwo figar aarnkaą planlmetrję, jaką
młodalety w wieka eekolnym wyłoiyć
moftna.
Zadania I wykreślenia, dająoa alf In
aaitosować, wykasują jot inaosną rói
nioą w porównania s Badaniami, która
nossń prsaprowadsal w knrsaoh aleman*
lamy oh, i lak:
Znalelć Irodsk danego kola lab laka.
Prsos dana Iny pnnkla poprowaditć
okrąg kola. NakraAllć kolo, mająoa
Irodak w daoym pnnkoia I slyosne do
danaj prosi*j. Prsas punkt, dany sa
wnątr* kola, poprowadsió slyoaoą do
okrągn. Wpisać w kolo ssaćoiokąt fo
ramny 1 trójkąt równobootoy. Ja tell
promiafi kola ma 8 alóp długości, jak
wialką jast powtanohnU kola? Mająo
daną powianohnią kola, która wynosi
np. 81 stóp kwadratowyoh, snalaść dla
gość promianta. Zadania, odnossąoa sią
do obliosania powiarsohn! wialokąlów
nlaforamnyoh. Zbudować kwadrat dwa
rwy wiąkesy od kwadratu danego.
Oblloayć wysokość trójkąta równora
miennego, maj%o jego bok I podstawy.
Obliosyć bok kwadratu, wplaaoego w
koło. Zamienić trójkąt róinoboosny na
równowainy a nim trójkąt równora*
mienny. Dany proatokąt aamianlć na
równowainy a nim kwadrat. Do traaoh
danyoh proatyoh analaść cswartą pro*
porojonalną. Daną Unją proatą podaie*
lić w danym atoaonkn. Oblloayć ob
wód trójkąta, jeśli wiadomo, ta
obwód podobnego *mn trójkąta wy*
noai 24 stóp, a atoaanak boków odpo
wiednich jeat 4 : 5. Znaleść średnio
proporcjonalną miądiy dwoma odoinka
mi. Podalalić dany odoinek w atoaun*
ku średnim i skrajnym. Mająo promlsfi
koła 1 bok wielokąta wplaanego, analaść
bok wielokąta opisanego o takiejio lioa*
bfe boków i t. d.
VI. Nauka atereomotrjl musi aaoaąć sią
od tego, aby uoinlowie wyrabiali bryły
geometryoane podług narysowanych ais*
oi i aieby aieoi takie umieli aaml prsy
notować.
Sądaimy, li kio i korsyśolą dla twe
go amytła naaozył tlę od dobrego na
nosyolela kann planimetrji, len jat do
daltiyoh potopów w sakretie geome
Irjl ma jako aamonk doatateoatiie otwar
tą drogą, Inaosej, prsyohodti moone
powątpiewać, aieby ktoś ta pełnie nie
praygotowany mógł na tern pola wy
kaatałolć twój nmytł.
Nauka o wielkololaoh praeatrlen
nych, jak se wasyatkiego widać, po win
na alą prowadzić w pewnej równoleg
łośoi odnośnie do poatąpów nośnia w
nanoe rachunków, Opróoa tego, na
noiyoiel elementarny nieoh nigdy nie
aapomlne, ie nie naleiy osaaa talować
na miersenle i smyałowe nwydatnlenie
atoannków prseatrsennyoh.
Im knia wyftaiy, tern nanoaanle na
biera eh arak teru wiąoej abatrakoyjne
go, wykład ataje alą w wyiaiym etopniu
teoretyomy. Kto od abatrakoji aaoinie,
ten oaaa zmarnuje, a noania łatwo mota
anleohąoić.
Nie naleiy jednakie mniemać, ie
prsedatawiony po wy tej roskład mater
jała geometrycznego na kuraa jeat wy
łąosnie praktykowany w naooianiu.
Pierwaia nanka o wielkololaoh prse<
atraennyoh moie mleć Inny jeasoee prse
bieg; mianowiole tai porsądknje alą i
rozdziela cały materjał konoentryosnie,
to anaoay, U oała geometrja wykłada alą
w kaidym korale, leos apoaób wykłada
jeet oorai loiślejezy, występuje ooras
wląkesa ilość prawd, wiąo prsedmlot
nienatannle alą rozazeiza I ataje alą w
nowem świetle.
O wartości koncentrycznego naoosa
nia j nieśmy mówili, la dodajemy tylko,
fto lastoeowanio go do naak abstrakcyj
nych apotyka trodooloi. Elamaotaroa
naaka geometrjt pokonała atoli w fnaci
naj oząśol owo trodooloi, daleki terno,
ii wialkośoi praoitrsoooo dają aię w kat
dym rasie osmyałowió. Praedatawlamy
to aatom inny jtasoio plan niooaaoia
(porówn. Dr. F, Dittea podłej piano
prof. Holala).
I. Od samego pooaątko itoaojo aią
modela brył: ualclaoo, równoległością
no, granlaetoelopa trójioiennego 1 wio
lośotennego, walca, stoika, koli. W fl
gnraoh tych blersa lią kolajoo pod owa
gę rótne powiarsohnit, llnje, jako tet
panku, bądąoe granicami I miejtoam
prseoiąola aią lłnji. Widać s tego, le
uczeń drogą analltyoiną ma to pozyskać
elemanta naoki; ale w dalasym ciąga
atoeaje aią takie ayotetyoane poitąpo
wanie i wtedy wykład praedatawia po
watowanie linjl, jako roobo ponkto, —
płaMosysn, jako roobo linjl, — brył,
jako raoho plaazozyzn (ganotyoznia).
Na la piór waza, walna Ukoją nalały
zniyó 2 do 8 oh miaaląoy ozaan.
Polom rozwali alf lin je aa względu
na lob kaztałl, dłogośd (aiananio i mia
ry) oraz.wzajamna wzglądom alabio po
lo lania. Od llnjl praoohodzi alę do ką*
tóu>, do lob rodzajów, miary podlng
■lopni i wsajamnyeh toh zloz noków (ką
ly wianoholkowa, prayłagla, naprsa*
mian logia, naprzaot wległa), prsyoaam
ma aię takia na nwadfte lob równość i
wzajemną zalotność.
Z kolal rseoiy wykład uwzględnia
/Iffury płaskie, uklaayfikowana podlng
lioiby boków; trójkąt roipalraja aię aa
wsględn na boki, kąty oraz aa względu
na rj od no i drngio; poozom — aoma ką*
•ów w Irójkąoit, — kąly za wnętrz o e, —
trójkąt, jako połowa czworokąta (prze*
kąlna).
Próos logo, noaniowio wykonywają
zadania wykrollne, oo wasyalko raiam
zajmio ozaa do kofioa plerwzzago azkol*
nago półrooza, lioząo tygodniowo dwio
godziny na lę naukę.
W dalazym ciąga przedmiot naaoia
nla ■tanowi: przystawanie trójkątów
(przonoezanie jadnjoh na drugie), —
własnoioi trójkąta równoramiennego, —
atoianki, laohodsąoa miądzy bokami i
kątami trójkąta (przeoiwproatokątoe,
ramiona kąta proatego). Pray czworo
kątach wykład obraoa złą około właa
noiol kwadratn, proatokąta, kwadratn
ukośnego, trapezu oraa kątów w cawo
rokątaoh. Z wielokątów foremnych na*
dają aią ta aaaioiokąt i ośmiokąt (po*
watała a trójkątów i oaworokątów). ioh
przekątne, —- aoma kątów. Podobieh
8tu>o trójkątów wywodai aią i równośoi
kątów.
Powyżazy kara popiarają atoaowna ta
aadania wykrellna i rachunkowe,
II. W naatąpnym roku nanoaania
gaomatrji naaosyoial aaoayna lakoja od
obllosania powiaraohni figar płaakioh
proatollnijnyoh: kwadratu I proatokąta
— trójkąta proatokątnago; równoległo*
boku poohytago i trójkąta, bądąoago
jago połową. Potam idaia aamiana tra
pera na trójkąt i obliczani® jago po
wiaraohni; — aamiana wielokątów na
inna figory o mnlejerej ilości boków
(oie ramienia aią ta figar na kwadraty).
Naatąpaje twiardienie Pitagoraaa, która
należy dowieść jak najprayatąpniej i
wy pro wad sać a niego wnloaki.
Koło trzeba traktować jako wielokąt
foremny o bardzo wielkiej ilośoi boków,
a jego powlaraohownią — rozpatrywać
a tegoż aamego punktu widaanta. Ob
wód koła w atoaanka do promienia i
średnicy, oo aią okazaje przez mierze
nie, dopełni kann, wyłotonego wciąga
półrooaa wr»i s laatosowaoiam tadań
wykraślnyoh i raobankowyoh.
W draglam półrooia nsstąpaje obli
otaaie powianohai brył graaiaatyob,
potem sal — pbjątośsi granłaatoałapów,
oaima mają towarayasyć lioaoa aadania,
odrabiana praai aoaniów. W nastąp
■twie ohodsi mowa o obiło tanie obją
toioi i powiaraohni waloa oraa stoika,
jako brjł ogranioaooyoh prsaa bardao
wielką ilość lołao. I to triaba popraać
Badaniami wykraślnami oraa raohanko
wami. Naressoia, oałorooany kara koń
osy aią na oblioianla powlersohni I ob
jątośoi koli, wadłog podanych formuł.
III. Kara Irsaot traktuje najpraód:
brjłą, powlersohcią, lin ją, pankt. Prae
obadał sią stąd do kąta i oinaoaenla go
literami; nattgpaje m!arianie llnij pros
tyob, prayosem wykład awaglądnia mia
ry dłogośeł; roapatroje sią kiaranak
linij prostych, _ kąty, miądsy linjami
proatemi sawarta. Mierianie kątów pro
wadsl do okrąga koła, do jego półokrą
go, do ćwiartki, do wyoinka, odoinka,
kąta, mająoego wlariohołek w# środka
koła. Potom wykład traktuj o kąty po
walało a prsooląob |d wóob proatyoh pnas
triadą, linjo równoległo.
Zidmli wykroiło# i raohankowo mo
wa aią aloaają.
Półroeany kara aakofioay na: trójką
cło, jego dafiaiojl I właanośoiaoh, — na
osworokątaoh, ioh podiialo podług bo
ków i kątów, — na wiolokątaoh forem -
nyoh 1 nioforomnyoh, lob praekątnyoh
oraa lamio kątów.
Drogi# półroos# togo aamogo kona
aajmi# #ią najpraód pryitawaniom trój
kątów, billej aiaaadolająo oztory pray
atawania trójkątów; potam naatąpajo
twiardaonlo, dotyoiąoo trójkąta równo
ramiennego, a taki# łat wiejcie, looa
najwainiojaso twiardaonia, odnoeaąoo aią
do trójkątów w ogóle.
W awląaka a powytasom aoaniowio
odrabiają aadania wykrollno i raohan
kowo.
Tu jtuoii naleią: własności równo
ległoboków, osworokąl w ogóle, traper,
» t«kt© — zamiana osworokątów na
trójkąty, na aaiadiie twierdzeń o przy
stawania trójkątów.
I to naloty poprzeć zadaniami wy
krzślnemi oraz raohukowemi.
Oprócz tego: podobieństwo trójką
tów i proporcjonalność boków, związek
pomlądzy kątami a proporcjonalnością
boków w trójkątaoh.
IV. Obliozanie powitrzohni figur
płaskich prostolinijnych; porównanie
trójkąta i równolegloboku, mająoego z
trójkątem jednakową podstawą, jedna
kową wysokość; a takfte — mająoego
odmienną podstawą, odmienną wyso
kość; stosunek powitrzohni w wieloką
tach podobny ob, twierdzenie Pitagorasa
1 jago zastosowanie. Zadania wykreśl •
ne i raohunkowe.
.Nauka o kole: Punkt, linja prosta,
kąt odnośnie do okrągu koła; wzajem
ne poło tanie dwóoh kół wzglądem sie
bie; wielokąty wpisane w koło I na niem
opisane oraz wyprowadzenie stąd sto
sanka średnicy do obwodu; mierzenie
koła.
Zadania wykreślcie 1 rachunkowe.
Drugie półrocze ma zupełnie podob
ny przebieg kursu, jak to było i w kur
sie drugim; jest on tu tylko rozszerzo
ny, uftywa dowodzeń śoiśltj matema
tyosnyoh a zadania stosuje trudniejsze.
Otóft powyżize poitąpowanie elemen
tarnego nauczania geometrjl moina na
zywać analityczno syntetyosno konoen
tryoznem, podczas gdy poprzednio wy
znaczone kurzy miały oharakter synte
tyczny. Oba te tryby mają swoje za
lety i twoje wady. Postąpowanle syn
letyoane aaleoa ałą wląkasą śoiałośoią;
ale uoaefi polrieboja dłuftaaego oiaau,
ateby ogarnął oałoić. Konoanlryoaoy
■oowa praebleg oaaoiania, — najwłal
olwaay, gdy eią go atoauje do nauk! ją.
Byka, blatorjl, geografji, nauk prtyrod
n'osyob, — woseśnle poswala noaolowi
ogarnąć praadmloł, laos graaasy niaraa
brakłam iolałośoi, kłady afą go atoaaja
do nauk abatrakoyjoyob. Brak łeo apo
atraaga ałą wyraźnie pray oaaoaania al
gabry, gdsia właśołwle tylko ayntetyoa
na oaoosanle jeat moftlłwa.
Blaiąoa literatura, odooasąoą ałą do
nauki gaometrjł, jeat naatąpająoa:
S. Diekatein — Początkowa naaka
goometrji w sadaniaob, podług W. G.
Spenoera (kaiąfteoaka dniej wartości dla
aamonka); M. Jamrógiewioa — Geome
trja poglądowa dla niytkn w klaeaob
niiasyeb azkół gimoaajalnyoh 1 roal
nyeb; A. O. Kamlfiakt — Treść geo
metrjl elementarnej, popularnie w 95
oiu ryaunkaoh na oko pokasaua; Dr. F.
Mooaik — Geometrja poglądowa dla